2023年北京市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)科目的考試已經(jīng)結(jié)束，今年的數(shù)學(xué)卷重點考查了哪些內(nèi)容？北京教育考試院和北京教科院基教研中心的專家們對數(shù)學(xué)試卷進行了權(quán)威解析。

(資料圖片)

數(shù)學(xué)試卷整體分析

思維引領(lǐng)? 面向全體? 導(dǎo)向教學(xué)

2023年北京市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題的命制，落實立德樹人根本任務(wù)，以《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》為依據(jù)，滲透《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的新理念與新要求。堅持五育并舉，面向全體，以學(xué)定考，回歸課堂，回歸教材，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人導(dǎo)向。以素養(yǎng)立意為統(tǒng)領(lǐng)，考查數(shù)學(xué)思維，凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值作用。落實“三個注重”和“四個考出來”的要求，突出對“四基”“四能”的考查，關(guān)注素養(yǎng)達成情況，注重內(nèi)容的結(jié)構(gòu)性，突出整體性，創(chuàng)設(shè)適切的真實情境，體現(xiàn)應(yīng)用性、探究性和綜合性，助力寫好“雙減”后半篇文章。

一、將“五育”有機融入試卷素材，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科育人導(dǎo)向

試卷的命制選取與社會經(jīng)濟發(fā)展有關(guān)的素材，將德育、美育、體育、勞動教育有機融入到試題中，引導(dǎo)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人導(dǎo)向。

第1題，以2023年全國冬小麥?zhǔn)斋@情況為背景，考查科學(xué)記數(shù)法，讓學(xué)生直觀感受到國家發(fā)展，增強民族自信心。

第8題，以勾股定理證明過程的圖形為背景，探索圖形中的數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生了解核心概念與重要方法產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程，在探究中感悟數(shù)學(xué)的價值。

第16題，以木藝藝術(shù)品加工實踐活動為載體，通過對加工時間進行合理優(yōu)化，考查學(xué)生有條理合乎邏輯的思維過程，體現(xiàn)勞動中的數(shù)學(xué)。

第21題，以中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化“對聯(lián)”為載體，將中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化與數(shù)學(xué)原理有機結(jié)合，考查利用數(shù)學(xué)原理“量與量之間的關(guān)系，總量等于各分量之和”建立數(shù)學(xué)模型，解決實際問題的能力，感受數(shù)學(xué)之美，厚植家國情懷。

第23題，以舞蹈隊選拔參賽為背景，結(jié)合實際問題中的數(shù)據(jù)，根據(jù)要求解決實際問題，考查對數(shù)據(jù)的數(shù)字特征意義的理解，體現(xiàn)體育活動中的數(shù)學(xué)。

第25題，以“節(jié)水”為背景，考查從數(shù)學(xué)的角度觀察、分析、思考、表達、解決、闡釋生活中遇到的問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。

二、面向全體，以學(xué)定考，回歸課堂，回歸教材

試卷的命制依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的“課程目標(biāo)”與“課程內(nèi)容”，考查主干知識、核心能力、基本思想方法；重視挖掘教材，結(jié)合教材中的內(nèi)容、學(xué)科思維與思想方法進行再設(shè)計，引導(dǎo)教師用好教材，學(xué)生學(xué)好教材，進一步引導(dǎo)教學(xué)回歸教材。素材源于學(xué)生生活所見所聞及課堂所學(xué)，試題表述和設(shè)問與學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗一致，易于學(xué)生理解，利于不同水平的學(xué)生作答。

第23題，試題背景源自教材，立足教材所揭示的概念本質(zhì)，設(shè)置與教材關(guān)聯(lián)的任務(wù)，體現(xiàn)命題與教材的深度關(guān)聯(lián)。

在考查基本知識的基礎(chǔ)上，深化、拓展對方差統(tǒng)計意義的考查，既考查直接利用方差的統(tǒng)計意義進行推斷，又考查利用方差的統(tǒng)計意義設(shè)計、分析、計算、篩選符合情境的數(shù)據(jù)組，通過對數(shù)據(jù)的對比與關(guān)聯(lián)，發(fā)掘數(shù)據(jù)蘊含的信息，從而做出統(tǒng)計推斷。

試題設(shè)計的重點不在于知識的單純記憶與簡單使用，而是以數(shù)據(jù)的數(shù)字特征為切入點，考查學(xué)生逐層分析與挖掘問題的邏輯結(jié)構(gòu)，結(jié)合數(shù)據(jù)通過推理做出正確的決策與推斷的能力。讓學(xué)生感受到在實際生活中，引入統(tǒng)計量的必要性，凸顯統(tǒng)計量的統(tǒng)計意義，突出統(tǒng)計量的應(yīng)用性。

三、整體設(shè)計，體現(xiàn)知識內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化

試卷的命制從整體上把握學(xué)科內(nèi)容的發(fā)展脈絡(luò)，學(xué)科本質(zhì)特征，以及學(xué)科內(nèi)容之間的密切關(guān)聯(lián)。試卷注重對學(xué)科知識的整合、深化與拓展，以數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率三大知識板塊中的主干知識為載體，重點考查知識之間的內(nèi)在聯(lián)系和整體結(jié)構(gòu)。試卷中每道試題既有獨自的考查目標(biāo)和功能，又能與其他試題配合，相關(guān)試題組合在一起，形成結(jié)構(gòu)化功能，體現(xiàn)學(xué)科內(nèi)容的整體關(guān)聯(lián)。引導(dǎo)教學(xué)重視對教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系。

數(shù)與代數(shù)板塊試題的命制從整體的視角進行設(shè)計，是從代數(shù)式及其運算到方程（組）和解方程（組）、不等式（組）和解不等式（組）再到函數(shù)逐步發(fā)展的，結(jié)構(gòu)化呈現(xiàn)數(shù)與代數(shù)的內(nèi)容，考查數(shù)與代數(shù)的思想方法，凸顯數(shù)與代數(shù)的本質(zhì)特征。

如第17題考查數(shù)及數(shù)的運算；如第9、10、19題考查代數(shù)式及其運算；如第5、11、21題考查方程和解方程；如第18題考查不等式組和解不等式組。

函數(shù)是數(shù)與代數(shù)板塊的主干知識，是研究運動變化的數(shù)學(xué)模型，它來源于實際又服務(wù)于實際，從實際中抽象出函數(shù)的有關(guān)概念，又運用函數(shù)知識解決實際問題。函數(shù)的圖象與性質(zhì)是函數(shù)的主體，從函數(shù)的數(shù)量特征和幾何特征（圖象）來刻畫每一類具體函數(shù)的性質(zhì)，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合是研究每一類函數(shù)的基本思路與方法。

如第12、22、26題考查反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題的能力；如第25題通過對現(xiàn)實問題中變量的分析，建立兩個變量之間變化的依賴關(guān)系，理解用函數(shù)表達變化關(guān)系的實際意義，借助平面直角坐標(biāo)系中的描點，用圖象刻畫變量之間的函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決實際問題。

圖形與幾何板塊試題的命制從演繹證明、運動變化、量化分析三個方面考查基本幾何圖形的性質(zhì)，借助幾何直觀，運用推理，探索并發(fā)現(xiàn)在運動變化過程中圖形的不變量與不變關(guān)系，并建立圖形與坐標(biāo)的聯(lián)系。

如第6、14、15、24題考查多邊形、平行線、圓的基本性質(zhì)；如第20題考查特殊平行四邊形之間的內(nèi)在聯(lián)系；如第27題考查在圖形運動變化的過程中發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)，用演繹推理證明其結(jié)論成立的能力；如第28題考查從圖形與坐標(biāo)關(guān)系的角度探究運動變化過程中圖形的不變量與不變關(guān)系的能力。

統(tǒng)計與概率板塊試題的命制重點突出統(tǒng)計全過程，在數(shù)據(jù)的收集、整理和描述的基礎(chǔ)上，考查了平均數(shù)、方差在數(shù)據(jù)分析時的作用，以及樣本估計總體的思想，著重考查了對數(shù)據(jù)的分析和利用數(shù)據(jù)中提供的信息解決問題的能力，以及獲取有效信息并進行統(tǒng)計推斷的意識。

如第13、23題，考查運用統(tǒng)計思想方法解決問題的能力。如第7題，考查定量描述隨機事件發(fā)生的可能性大小。

四、素養(yǎng)立意，思維引領(lǐng)，導(dǎo)向教學(xué)

試卷的命制以素養(yǎng)立意為導(dǎo)向，依據(jù)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵及具體表現(xiàn)，關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì)，關(guān)注通性通法，綜合考查“四基”和“四能”。

對抽象能力的考查，重點體現(xiàn)在能夠從實際情境中抽象出核心變量、變量的規(guī)律及變量之間的關(guān)系。

如第25題，考查從數(shù)學(xué)的角度觀察分析數(shù)據(jù)，從實際問題中抽象出第一次用水量、總用水量等變量，以及變量之間的關(guān)系，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，進一步將第一次用水量與總用水量之間的關(guān)系抽象為一種函數(shù)關(guān)系，并用函數(shù)知識進行表達，考查“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界”“會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界”。

該題從整體上建構(gòu)函數(shù)研究的框架，按照“實例—概念—圖象—性質(zhì)—應(yīng)用”的順序從整體到局部展開研究，以綜合運用數(shù)學(xué)知識與思想方法解決實際問題為考查重點，讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的全過程。引導(dǎo)教學(xué)組織有效的綜合與實踐活動，任務(wù)指向數(shù)學(xué)本質(zhì)，在解決實際問題中融入數(shù)學(xué)知識與思想方法，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識與實踐能力。

對運算能力的考查，側(cè)重于選擇合理簡潔的運算策略進行運算。

如第19題，既可以通過代入消元求出結(jié)果，也可以運用因式分解、分式的基本性質(zhì)將代數(shù)式化簡后，通過整體代入更簡潔地求得運算結(jié)果。引導(dǎo)教學(xué)在根據(jù)法則和運算律進行正確運算的基礎(chǔ)上，學(xué)會觀察、分析運算條件，選擇簡潔的運算途徑，通過運算促進數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)。

對推理能力的考查，側(cè)重于依據(jù)推理的基本形式和規(guī)則，探索論證過程并有邏輯的表達。

如第4題，考查通過代數(shù)運算進行推理。如第20、24、27題，考查把握圖形特征，分析圖形性質(zhì)，借助圖形分析問題，探索解決問題的思路，運用相關(guān)的幾何知識進行證明，并能正確進行表述的能力，考查學(xué)生“會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界”“會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界”。引導(dǎo)教學(xué)在數(shù)與代數(shù)塊板、圖形與幾何板塊關(guān)注推理或證明的內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)。

對應(yīng)用意識與模型觀念的考查，側(cè)重于有意識地利用數(shù)學(xué)概念、原理和方法解決實際問題；根據(jù)具體問題，抽象出數(shù)學(xué)問題，將問題中的數(shù)量關(guān)系用方程（組）進行表示，求出結(jié)果。

如第16題，考查發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實情境中蘊含著的邏輯關(guān)系，利用所給數(shù)據(jù)設(shè)計符合實際要求的最優(yōu)解決方案的能力；如第21題，考查理解問題情境，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立方程（組）模型，通過對方程（組）的求解，解決實際問題的能力。引導(dǎo)教學(xué)挖掘與學(xué)生生活密切相關(guān)的問題，建立數(shù)學(xué)模型并運用數(shù)學(xué)知識和方法解決問題，培養(yǎng)學(xué)生模型觀念與應(yīng)用意識。

總之，數(shù)學(xué)學(xué)科鞏固以往考試內(nèi)容改革成果，積極發(fā)揮試題育人功能，保持了試卷的基礎(chǔ)性、綜合性、實踐性的特色。以素養(yǎng)為導(dǎo)向，堅持創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生特點的情境，考查主干知識，考查核心能力，考查基本思想，考查發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。同時，數(shù)學(xué)學(xué)科緊密聯(lián)系教材，充分挖掘教材中適切的素材，引導(dǎo)教學(xué)回歸課堂，引導(dǎo)教師發(fā)揮課堂的主渠道作用。

數(shù)學(xué)試卷試題分析

2023年北京市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷（以下簡稱“北京卷”）以《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）為依據(jù)，既實現(xiàn)水平性考查功能，又兼顧了選拔性功能，符合“兩考合一”的要求。北京卷在試卷結(jié)構(gòu)、題型分布、分?jǐn)?shù)設(shè)置等方面保持穩(wěn)定，緊密聯(lián)系北京市初中數(shù)學(xué)教學(xué)實際，堅持素養(yǎng)立意，突出學(xué)科本質(zhì)，凸顯育人導(dǎo)向，落實“雙減”的相關(guān)要求。

一、依據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》，堅持以學(xué)定考

北京卷落實《課程標(biāo)準(zhǔn)》要求，堅持以學(xué)定考，依據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定的“內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)”科學(xué)命制試題。題目體現(xiàn)《課程標(biāo)準(zhǔn)》所規(guī)定的課程目標(biāo)、內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)。問題的設(shè)置有利于考查學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、關(guān)系、規(guī)律的理解、表達和應(yīng)用。

例如1，4，5，9，10，11，12，21，22，26等題，主要考查“數(shù)與代數(shù)”知識領(lǐng)域的相關(guān)內(nèi)容，考查學(xué)生是否掌握相關(guān)的運算求解方法，能否從生活情境、數(shù)學(xué)情境中抽象概括出數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)的概念和規(guī)則，并且解釋運算結(jié)果。要求學(xué)生具備一定的運算能力、推理能力和抽象能力。

例如2，3，6，8，14，15，20，24，27等題，主要考查“圖形與幾何”知識領(lǐng)域的相關(guān)內(nèi)容，考查學(xué)生能否理解圖形運動的變化特征，發(fā)現(xiàn)其中蘊含的不變關(guān)系，能否運用幾何圖形的基本性質(zhì)進行推理論證。要求學(xué)生具備一定的幾何直觀、空間觀念和推理能力。

例如7，13，23題，主要考查“統(tǒng)計與概率”知識領(lǐng)域的相關(guān)內(nèi)容，考查學(xué)生是否理解頻數(shù)、頻率、中位數(shù)、眾數(shù)等統(tǒng)計量以及概率的意義，能否進行簡單的數(shù)據(jù)分析。要求學(xué)生具備一定的數(shù)據(jù)觀念。

例如16，25等題，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平和生活經(jīng)驗，設(shè)計合理的情境，主要考查“綜合與實踐”領(lǐng)域的內(nèi)容?？疾閷W(xué)生能否從實際情境中發(fā)現(xiàn)問題并提出（或轉(zhuǎn)化為）數(shù)學(xué)問題，綜合運用多個領(lǐng)域的知識，提出設(shè)計思路，選擇合適的方法，制訂解決方案。要求學(xué)生具備一定的應(yīng)用意識和模型觀念。

二、落實“四基”“四能”，堅持素養(yǎng)立意

北京卷緊扣《課程標(biāo)準(zhǔn)》和教材，立足對基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗的考查?？疾橹鞲芍R，各知識領(lǐng)域的分值設(shè)計與《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求相符，大部分題目的創(chuàng)設(shè)與教材聯(lián)系密切。梯度設(shè)計細(xì)致合理，符合初中學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律與水平，體現(xiàn)了初中學(xué)業(yè)水平考試的要求。與2022年北京卷相比，在題型和設(shè)問上保持了穩(wěn)定。

例如1，2，5，6，7，9等題考查基礎(chǔ)知識；例如3，10，11，17,18等題考查基本技能；例如21等題考查基本思想；例如23，25等題考查基本活動經(jīng)驗。

北京卷在落實“四基”考查的同時，還關(guān)注考查發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。注重對數(shù)學(xué)學(xué)科核心內(nèi)容、學(xué)科本質(zhì)的考查，堅持素養(yǎng)立意。

例如23題，素材來源于學(xué)生生活實際，在數(shù)據(jù)的收集、整理和描述的基礎(chǔ)上，考查了統(tǒng)計相關(guān)概念的理解與應(yīng)用，著重考查了對數(shù)據(jù)的分析和利用數(shù)據(jù)中提供的信息解決問題的能力，體現(xiàn)了學(xué)生獲取有效信息并進行統(tǒng)計推斷的意識。

例如25題，以“清洗某種含污染品的節(jié)水策略”為背景，考查學(xué)生運用所給的數(shù)據(jù)，抽象出數(shù)學(xué)問題，構(gòu)建函數(shù)模型，分析問題和解決問題的能力。

三、注重思維過程，突出學(xué)科本質(zhì)

北京卷立足學(xué)科主干知識，多角度、多層次地設(shè)計問題情境，考查學(xué)生探究與解決問題的能力，注重思維過程，突出學(xué)科本質(zhì)。

例如26題以二次函數(shù)的相關(guān)知識為載體，考查學(xué)生綜合運用二次函數(shù)圖象的對稱性、函數(shù)的增減性等知識以及數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題的能力，重點考查了代數(shù)學(xué)習(xí)中的主干知識、學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)經(jīng)驗。

例如27題主要考查識別、分析問題情境中的基本圖形，學(xué)生通過畫圖、觀察和分析圖形運動變化的全過程，猜想、探究其中的不變關(guān)系，思考并推理論證自己的猜想。本題在命題結(jié)構(gòu)上有所創(chuàng)新，考查了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

例如28題作為北京卷的特色試題，堅持了對概念學(xué)習(xí)的過程性考查，以圖形與坐標(biāo)為背景，運用圓外一點與圓的一條弦的兩個端點分別連接成的兩條直線的特征定義了“關(guān)聯(lián)點”，考查學(xué)生經(jīng)歷研究新知識的一般過程，從靜態(tài)到動態(tài)，以實踐操作、探索發(fā)現(xiàn)為活動主線，繼而研究運動變化中的不變關(guān)系，考查學(xué)生對知識的理解能力、遷移能力以及思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。

四、注重情境創(chuàng)設(shè)，凸顯育人導(dǎo)向

北京卷歷來注重真實情境的創(chuàng)設(shè)，從生活情境、科學(xué)情境和數(shù)學(xué)情境等方面入手，選擇貼近學(xué)生生活經(jīng)驗、符合學(xué)生年齡特點和認(rèn)知加工特點的素材，搭建起數(shù)學(xué)知識與問題之間的橋梁，引導(dǎo)學(xué)生在問題解決的過程中經(jīng)歷數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)表達、概括歸納、遷移運用等過程，體會數(shù)學(xué)是認(rèn)識、理解、表達真實世界的工具、方法和語言，增強認(rèn)識真實世界、解決真實問題的能力，同時感受數(shù)學(xué)在現(xiàn)實世界的廣泛應(yīng)用，體會數(shù)學(xué)的價值。

例如16題以學(xué)生參加木藝藝術(shù)品加工實踐活動為載體，設(shè)計工序最優(yōu)化的問題，考查學(xué)生邏輯推理的能力，體現(xiàn)勞動中的數(shù)學(xué)。

例如21題以中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的對聯(lián)為載體，設(shè)計對聯(lián)裝裱尺寸的問題，將中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化與數(shù)學(xué)知識有機結(jié)合，考查建立數(shù)學(xué)模型，解決實際問題的能力。

例如25題以“清洗某種含污染品的節(jié)水策略”為背景，考查從數(shù)學(xué)的角度觀察、分析、思考、表達、解決、闡釋生活中遇到的問題，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。

2023年北京卷落實立德樹人根本任務(wù)，全面體現(xiàn)《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，依據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》所規(guī)定的課程目標(biāo)和內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)命題，知識覆蓋比較全面，各領(lǐng)域考查內(nèi)容所占比例與其在《課程標(biāo)準(zhǔn)》中所占比例大體一致，難易程度大體平衡，考查重點突出。試題關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，關(guān)注通性通法，綜合考查“四基”“四能”與核心素養(yǎng)，題目設(shè)置注重創(chuàng)設(shè)真實情境，提出有意義的問題，有利于考查對數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、關(guān)系、規(guī)律的理解、表達和應(yīng)用，注重考查學(xué)生的思維過程，對課堂教學(xué)起到了良好的導(dǎo)向作用。

點評專家

北辰

（北京教育考試院）

俞京寧

高級教師

（北京教育學(xué)院豐臺分院）

陳俊

正高級教師

（北京市東城區(qū)教育科學(xué)研究院）

刁衛(wèi)東

高級教師

（北京市西城區(qū)教育研修學(xué)院）

侯海全

高級教師

（北京教育科學(xué)研究院）

黃煒

高級教師

（北京教育科學(xué)研究院）

關(guān)鍵詞：